В дождевальной установке вода подается сначала по трубе диаметром 40

Примеры решения задач. В дождевальной установке вода подается сначала по трубе диаметром 40 мм, а затем по трубе диаметром 24 мм

В дождевальной установке вода подается сначала по трубе диаметром 40 мм, а затем по трубе диаметром 24 мм. Статистические давления в широкой и узкой частях трубы равны соответственно 150 кПа и 60 кПа. Определить скорость течения воды в узкой части трубы.

Дано:

Решение: Скорость движения жидкости в горизонтальной трубе переменного сечения (если не принимать во внимание трения) изменяется в соответствии с уравнением Бернулли:

Кроме того, как следует из уравнения неразрывности потока жидкости, , где и — сечения трубы. Таким образом, неизвестная скорость может быть выражена через искомую скорость v₂, т. е

Подставим это значение v₁ в уравнение Бернулли:

Отсюда:

Следовательно, .

Проверим размерность полученного выражения. Член, стоящий в квадратных скобках, безразмерный, поэтому

Таким образом, размерность правой части полученного выражения совпадает с размерностью скорости.

Подставим числовые значения заданных величин :

Ответ: скорость течения воды в узкой части трубы равна 14, 4 (м/с).

В касторовое масло опустили стальной шарик диаметром 1 мм и определили, что расстояние в 5 см он прошел за 14,2с. Считая движение шарика равномерным, определить вязкость касторового масла, если его плотность равна , а плотность стали 7860 .

Дано:

Решение: На шарик, движущийся в вязкой жидкости, действуют три силы:

2) выталкивающая, архимедова, сила (вверх)

2) cила трения, определяемая по закону Стокса (вверх)

При равномерном движении шарика алгебраическая сумма этих сил должна равняться нулю, т. е

После несложных преобразований получаем:

Поскольку скорость равномерного движения шарика

Проверим размерность полученного выражения:

Таким образом, размерность правой части полученного выражения совпадает с размерностью коэффициента внутреннего трения.

Подставляем числовые значения:

Ответ: коэффициент вязкости касторового масла равен 1,07

Определить время протекания крови через капилляр вискозиметра, если вода протекает через него за 10 с. Объемы воды и крови одинаковы.

Решение: Эта задача решается применением закона Гагена-Пуазейля, согласно которому объемный расход жидкости при ламинарном течении в трубе пропорционален четвертой степени радиуса трубы и градиенту давления и обратно пропорционален коэффициенту вязкости:

где – объемный расход жидкости, т. е объем жидкости, протекающий через сечения трубы в единицу времени;

– динамический коэффициент вязкости.

Из этой формулы следует, что объем жидкости, протекающий через сечения трубы за время t, равен (с учетом где — плотность жидкости).

Пусть через одну и ту же трубу за одно и то же время протекает одинаковое количество жидкостей, одна из которых – исследуемая, а другая – эталонная, т. е обладающая известным коэффициентом вязкости. Так как при этом V=V_э, то, очевидно, можно написать:

После сокращения на одинаковые множители получим:

Отсюда время протекания исследуемой жидкости будет равно:

(в этих формулах мы обозначили индексом «э» величины, относящиеся к эталонной жидкости).

Коэффициенты вязкости воды и крови соответственно равны: и , плотности воды и крови соответственно равны: .

Ответ: кровь будет протекать через капилляр вискозиметра 12,6 (мин).

Источник

Задания

Имени профессора И.И. Иванова»

Кафедра физики и ТМ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

По организации

Самостоятельной работы студентов

По дисциплине «Физика»

Направление подготовки бакалавров: 110800 Агроинженерия

Профиль «Технологическое оборудование для хранения и переработки с.-х. продукции»

Профиль «Технические системы в агробизнесе»

Профиль «Технический сервис в АПК»

Профиль » Электрооборудование и электротехнологии «

Курск – 2011

Тема № 3 «Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела»

Вопросы для самостоятельного изучения

(см. вопросы к гл.4,5[1] и гл. 2,4 [7] )

1. Дайте определение угловой скорости. Углового ускоре­ния. Напишите соответствующие формулы. В каких едини­цах измеряются эти величины?

2. Выведите формулу для вычисления угловой скорости при равнопеременном вращении.

3. Выведите формулу для вычисления угла поворота при равнопеременном вращении.

4.Дайте определение момента силы. В каких единицах измеряется момент силы?

5.Выведите основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

6.Дайте определение момента инерции. В каких едини­цах измеряется эта величина? Каков ее физический смысл?

7.Дайте определение момента импульса. Выведите закон сохранения момента импульса замкнутой системы вращаю­щихся тел. Приведите примеры применения этого закона.

8.Выведите формулу кинетической энергии вращающе­гося тела.

1. Составьте глоссарий по изучаемой теме. Включите в него следующие и другие (самостоятельно подобранные по данной теме) термины: материальная точка, система отсчета, мгновенная скорость, нормальное и тангенциальное ускорение, угловая скорость и ускорение, момент силы, момент инерции, момент импульса. (ОК-1, ПК- 19 )

2. Изучите и запомните следующие формулы(ПК-1, ПК-19 )

Наименование величины или физический закон	Формула
Угловая скорость и вычисление углового перемещения по угловой скорости
Угловое ускорение и вычисление угловой скорости по угловому ускорению
Связь между линейными (v и )и угловыми ( и )величинами при вращательном движении	V=
Угловая скорость при равнопеременном вращении
Угол поворота при равнопеременном вращении
Связь между угловой скоростью а, час­тотой вращения и периодом враще­ния Т при равномерном вращении
Связь между углом поворота и числом оборотов N
Основное уравнение динамики враща­тельного движения (связь между угло­вым ускорением, моментом силы М и моментом инерции J вращающегося те­ла)
Моменты инерции некоторых тел а) материальной точки массой m на расстоянии г от оси вращения
б)полого цилиндра радиусом R
в)сплошного цилиндра или диска ра­диусом R
г) однородного тонкого стержня дли­ной а относительно оси, проходя­щей через его конец
Момент импульса L
Закон сохранения момента импульса
Кинетическая энергия вращающегося тела

3. Разберите самостоятельно следующие задачи (ОК-1, ПК- 1, ПК-3, ПК-19 )

Цилиндрический барабан ультрацентрифуги, применяю­щийся для разделения высокомолекулярных соединений, имеет диаметр 20 см и массу 5 кг. Для остановки барабана, вращающегося с частотой 9000 об/мин, к нему, после вык­лючения электродвигателя, прижали тормозную колодку. Какую силу трения нужно’ приложить к боковой поверхно­сти барабана, чтобы остановить его за 20 секунд? Сколько оборотов он сделает до полной остановки? Какова будет работа силы трения?

2R=20 см = 0,2 м m=5 кг v0=9000 об/мин=150 t=20 с _ N=?F = ?A = ?

Момент силы трения, при­ложенной к поверхности бара­бана M = FR. Считая барабан сплошным цилиндром, можно написать, что его момент инер­ции равен

J =

Из основного уравнения динамики вращательного движе­ния следует, что M = J, где е — угловое ускорение. Следо­вательно,

_{FR= и F=} (1)

Угловая скорость тела, вращающегося с угловым ускоре­нием вис начальной скоростью . по происшествии времени t от начала движения будет равна: . Так как ба­рабан по условию задачи останавливается, то . Поэто­му 0= . Отсюда

Подставляя это выражение в формулу (1), получим:

F= (2)

(знак минус означает, что сила замедляет вращение бара­бана).

Считая вращение барабана равнозамедленным, можно написать, что величина угла поворота

Но так как , то

(3)

С другой стороны, угол поворота связан с полным чис­лом оборотов барабана соотношением

(4)

Приравнивая правые части выражений (3) и (4), полу­чаем:

Откуда (5)

Работа силы трения, необходимая для полной остановки, барабана, будет равна его кинетической энергии, т. е.

(6)

Проверим размерности формул (2) и (6)’.

Таким образом, полученные формулы дают правильные размерности силы и работы.

Сделаем подстановку числовых значений заданных вели­чин:

Горизонтальная платформа массой 150 кг вращается во­круг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 6 об/мин. Человек массой 60 кг стоит при этом на краю платформы. С каким числом оборотов будет вра­щаться платформа, если человек перейдет от края платфор­мы к ее центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой.

m = 150 кг На основании закона сох-

60 кг можно записать:

,

— ? где J — момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее крае, а — момент инерции платформы с человеком в ее центре.

Считая платформу однородным диском и человека то­чечной массой, можно написать:

Так как момент инерции точечной массы, находящейся в центре вращения платформы, равен 0, то

Таким образом , так как , то

.

Отсюда ,

Подставим числовые значения:

Итак, число оборотов платформы возрастет и станет 0,45 с

Косилка — измельчитель предназначена для скашивания тра­вы и одновременного измельчения кормов для скота, Зависи­мость угла поворота барабана косилки КС-1 от времени да­ется уравнением:

=A+Bt+Ct 2 , где В=0,6 рад/с и С=0,25 рад/с 2 .

Найти угловую скорость вращения барабана и линейную скорость точек на его поверхности через 10 с от начала враще­ния. Диаметр барабана 0,5 м.

Угловая скорость есть

производная углового переме-

щения по времени

м Подставляя числовые данные получим:

_________________

=

Угловая скорость равна 5,6 рад/с, и линейная скорость равна 1,4 м/с.

Через блок радиусом 4 см перекинули шнур, к концам которого привязаны грузы массами 50 г и 60 г. При этом блок пришел в движение с угловым ускорением 1,5 с -2 . Определить момент инерции блока. Трение при вращении не учитывать .

Решение. Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений. Для этого рассмотрим силы, действующие на блок и на каждый груз в отдельности. На первый и второй грузы действуют силы тяжести и натяжения нити: m₁g, T₁, m₂g, T₂. На блок моменты сил M₁=T₁r и M₂=T₂r (при этом M=Ie), где соответственно:

T₁ и T₂ – силы натяжения нити, действующие на грузы и на блок ;

e – угловое ускорение.

Составим уравнения движения каждого из тел системы «грузы – блок» в векторной форме:

;

;

а из основного уравнения динамики вращательного движения получим:

.

Спроецируем первые два уравнения на ось x, которую направим вертикально вниз. С учетом знаков проекций будем иметь:

;

;

С учетом того, что нить нерастяжима и не проскальзывает по блоку, получим ça₁ç=ça₂ç=a, a=re и тогда написанные выше уравнения перепишем в виде:

;

;

.

Решая систему трех уравнений с тремя неизвестными, найдем интересующий нас момент инерции

.

После проверки размерностей левой и правой частей, полученного соотношения и подстановки численных значений, входящих в него величин, будем иметь

кгм 2 .

Индивидуальные задания

1. Решите задачу из задачника [2] (ПК-1, ПК-3) № 1,46; 1,47; 3,8; 3,10; 3,15; 3,16; 3,20; 3,21; 3 35; 3.36.

Тема № 4 «Уравнения неразрывности и Бернулли. Вязкая жидкость.»

Вопросы для самостоятельного изучения

(см.также вопросы к гл.3[1] и ч.1 [9] )

Какую жидкость называют идеальной? Приведите при­меры. Можно ли считать кровь идеальной жидкостью?

2.Что называют объемным расходом жидкости? В каких единицах он измеряется?

3. Выведите уравнение неразрывности потока жидкости.

4. Запишите уравнение Бернулли. Ка­ков физический смысл этого уравнения? Каждого члена этого уравнения?

5. Объясните принцип действия приборов, применяемых в ветеринарии и основанных на законе Бернулли.

6. Сформулируйте закон Ньютона для вязкой жидкости. Дайте определение динамического коэффициента вязкости.

7. Сформулируйте закон Стокса. Как определяют коэффи­циент вязкости на основе закона Стокса?

1. Составьте глоссарий по изучаемой теме. Включите в него следующие и другие (самостоятельно подобранные по данной теме) термины: идеальная жидкость, трубка тока, статическое, динамическое и гидростатическое давление (ОК-1, ПК- 19 )

2. Изучите и запомните следующие формулы(ПК-1, ПК-19 )

Наименование величины или физический закон	Формула
Объемный расход жидкости в потоке.S-площадь сечения потока,v- скорость жидкости
Уравнение неразрывности потока
Уравнение Бернулли( -плотность потока жидкости)
Закон Стокса
Работа перемещения объема жидкости V со скоростью v под действием разности давлений	А=
Объемный расход вязкой жидкости в трубе длиной L и радиусом R
Число Рейнольдса	R

3. Разберите самостоятельно следующие задачи (ОК-1, ПК- 1, ПК-3, ПК-19 )

В дождевальной установке вода подается сначала по трубе диаметром 40 мм, а затем по трубе диаметром 24 мм. Статические давления в широкой и узкой частях трубы равны соответственно 150 кПа и 60 кПа. Определить скорость тече­ния воды в узкой части трубы.

Скорость движения

жидкости в горизонтальной трубе

переменного сечения изменяется

в соответствии с уравнением Бернулли:

Кроме того, как следует из уравнения неразрывности по­тока жидкости, где -сечения трубы. Та­ким образом, неизвестная скорость vi может быть выражена через искомую скорость V , т. е.

Подставим это значение V в уравнение Бернулли:

Отсюда:

Следовательно,

Проверим размерность полученного выражения. Член,стоящий в квадратных скобках, безразмерный, поэтому

Таким образом, размерность правой части полученного выражения совпадает с размерностью скорости. Подставим числовые значения заданных величин:

Ответ: скорость течения воды в узкой части трубы рав­на 14,4 м/с.

В касторовое масло опустили стальной шарик диаметром 1 мм и определили, что расстояние в 5 см он прошел за 14,2 с. Считая движение шарика равномерным, определить вязкость касторового масла, если его плотность равна 960 кг/м 3 , а плотность стали 7860 кг/м 3 .

На шарик ,движущийся в вязкой

жидкости, действуют три силы:

1)сила тяжести(вниз)

2)выталкивающая архимедова

3)сила трения , определяемая по закону Стокса (вверх)

При равномерном движении шарика алгебраическая суммаэтих сил должна равняться нулю, т. е.

, или

После несложных преобразований получаем:

Поскольку скорость равномерного движения шарика

,то

Проверим размерность полученного выражения:

Таким образом, размерность правой части полученного выражения совпадает с размерностью коэффициента внутрен­него трения.

Подставляем числовые значения:

Определить время протекания крови через капилляр вис­козиметра, если вода протекает через него за 10 с. Объемы воды и крови одинаковы.

Эта задача решается применением закона Гагена—Пуазейля, согласно которому объемный расход жидкости при ламинарном течении в трубе пропорционален четвертой степени радиуса трубы и градиенту давления и обратно пропорционален коэффициенту вязкости:

где объемный расход жидкости , т.е. объем жидкости , протекающей через сечение трубы в единицу времени ,

р-градиент давления ,

-динамический коэффициент вязкости.

Из этой формулы следует , что объем жидкости , протекающей через сечение трубы за время t, равен (с учетом , где — плотность жидкости).

V= .

Пусть через одну и ту же трубу за одно и то же время про­текает одинаковое количество жидкостей, одна из кото­рых — исследуемая, а другая — эталонная, т. е. обладающая известным коэффициентом вязкости. Так как при этом , то, очевидно, можно написать:

.

После сокращения на одинаковые множители получим;

Отсюда время протекания исследуемой жидкости будет равно:

(в этих формулах мы обозначили индексом “э”величины , относящиеся к эталонной жидкости).

Коэффициенты вязкости воды и крови соответственно равны:1,0 и 4,0 , плотности воды и крови соответственно равны: 1,0 и 1,06 .

.

Ответ: кровь будет протекать через капилляр вискози­метра 12,6 мин.

Цилиндрический бак высотой h=1 м наполнен до краев водой. За какое время t вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака, если площадь S₂ поперечного сечения отверстия в 400 раз меньше площади поперечного сечения бака? Сравнить это время с тем, за которое понадобилось бы для вытекания такого же объема воды, если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высоте h=1 м от отверстия (рис. 3.2).

Решение. Для определения скорости понижения уровня воды в баке воспользуемся уравнением Бернулли в виде

.

,

где r – плотность жидкости;

v₁ – скорость течения воды в баке (скорость понижения уровня воды в баке);

v₂ – скорость вытекания воды из бака;

y – высота уровня воды в баке (переменная величина);

В силу неразрывности струи

,

где S₁ – площадь поперечного сечения бака;

S₂ – площадь поперечного сечения отверстия.

.

Подставляя значение скорости вытекания воды в выше записанное уравнение, получим

.

За время dt уровень воды в баке понизится на

.

.

Проинтегрировав это выражение, получим

.

Подставив численные значения, произведя вычисления, имеем

с.

Нетрудно убедиться, что если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высоте h=1 м от отверстия, то время вытекания воды было бы в два раза меньше.

Источник